[Статья] Математика вастика

[Next_rim]

Математика вастика

 

Какой вес на самом деле имеет килл земли с точки зрения статистики?

 

 

Дисклеймер: со статистикой я знаком только на любительском уровне, несмотря на две вышки в области финансов. Всю теорию изучал сам, своими силами, экзаменов никому не сдавал и т.д., поэтому возможны ошибки и прочее. В тему призывается Серега Ламзин для проверки моей математики.

 

1. Введение

 

Все легоси маги знакомы с крутой картой под названием Wasteland. Многие колоды играют вастиком, и успешно срезают оппонентам нужный цвет или критичную землю, получая тем самым преимущество на столе. Есть сотни статей и холиваров на форумах о том, как и когда правильно вастить землю оппоненту, как играть вокруг вастика и т.д. Я предлагаю не разводить ментальную магию, а взглянуть на вопрос объективно, т.е. математически, на живом примере Тим Америки (далее буг или ТА, подробнее в соответствующем праймере).

 

Буг знаменит тем, что редко играет базовыми землями, и очень любит свои дуалки, которые фиксят сложные косты Abrupt Decay, Liliana of the Veil и Hymn to Tourach. При всем богатом арсенале кантрипов и наличии шаманов, успешный вастик в баё или море может очень сильно затормозить колоду, срезав часть опций.

 

Представим какой-нибудь буг, который играет в 20 земель: 7 фечек, 4 вастика, 4 моря, 3 баё и 2 тропика. Предложим данной колоде вот такую стартовую раздачу на ходе:

 

1) Фечка

2) Море

3) Гимн

4) Брейншторм

5) Делвер

6) Лилиана

7) Дикей

 

Рука выглядит заряженной всем, чем надо. Пилот ТА кипает такую руку, и очень хочет выйти на 3 маны (в т.ч. две черные), чтобы покастить лилиану. У пилота есть два основных опенера – через шамана или через делвера, что очень критично для нашего вастико-снайпера с той стороны стола. Ведь шаман, да еще и поставленный через фечку, может сразу воткнуть лилиану на 2-й. Старт через делвера означает наличие счетчика, возможность поштормиться для надежного флипанья, надежного шамана на 2-й с уже космическим вариантом опций к 3-му ходу.

 

Оппонентом выступает злой и недобрый хитрый маг с вастиком, которого сильно попарит Лиля (или гимн), поэтому он будет слепо вастить любую черно-содержащую землю при первой возникшей возможности в попытке отсрочить неминуемый дискард.

 

2. О гипергеометрическом распределении

Для анализа шансов что-то надровать в магии используют гипергеометрическую функцию. Формула большая и сложная, но суть у нее простая – можно посчитать каков шанс вытащить конкретную карту, зная размер колоды, количество таких карт в колоде, и количество продрова (да-да, можно замерить эффект брейншторма). Математика за этим всем такая:

 

Общая формула:

 

 

 

Где

 

X = количество нужных карт. В нашем случае – черносодержащий земли или фечки к ним

 

Y = количество карт в колоде (после кипа их останется 53, и уменьшается соответственно после каждого дрова или фечки)

 

Z = количество продрова (1 при топдеке, 3 при шторме и т.д.)

 

N = это сколько нужных карт нам нужно. В каждом шаге мы будем искать одну землю, поэтому N всегда в нашем случае будет 1 или 0.

 

С – это пермутация. Пермутация считает количество вариантов порядка карт при продрове из стопки карт. Например, у нас колода из пяти разных басиков. Мы дроваем две карты. Мы можем вытащить остров-лес, лес-гору, остров-болото и т.д. Общее кол-во таких вариантов называется пермутацией. Считается так:

 

 

Где n - это общее количество карт в выборке, k – это сколько продрова. Восклицательный знак означает страшную мат. функцию факториал, и считается перемножением всех чисел от исходного до единицы. Например, 5! = 5*4*3*2*1 = 120

 

К счастью, товарищ Билл Гейтс снабдил нас чудесной программкой эксель, в которой все это встроено, и можно просто вбить в ячейку =ГИПЕРГЕОМ.РАСП(N, Z, X, Y) и не разбираться в математике вопроса, что я и буду использовать далее. Например, чтобы посчитать, какова вероятность увидеть хотя бы одно море в опенере, посчитаем каковы шансы НЕ подровать море в стартовой, тогда все остальные варианты будут как минимум с одним морем. Смотрим:

 

ГИПЕРГЕОМ.РАСП(0,7, 4, 60) = 60,05%. Значит, шанс увидеть море в стартовой = 100% -60,05% = 39,95%

 

Этот шанс надровать море мы назовем H, оно же отныне будет означать шанс найти то, что надо, без участия вастиков (т.е. при игре с диваном). А именно H = шанс иметь на столе два черных сорса в мейн фазу. А вот шанс выйти на наши черные против злого васто-снайпера будем отмечать Hw. Разница между ними и будет показателем насколько затормозит развитие буга своевременный вастик. Играть будем 3 хода, рассмотрим разные варианты развития событий, и в итоге посчитаем, в начале каждого хода какова вероятность иметь на столе 3 маны (шаман считается, если в помойке есть земля), в т.ч. 2 черных сорса.

3. О шансах и дереве событий

 

Если подкинуть монетку, то шанс получить решку будет 50%. Если после этого подкинуть ее еще раз, то шанс получить решку тоже будет 50%. При этом шанс получить решку во 2-й раз, если вы выкинули решку в 1-й раз, будет 0.5*0.5 = 0.25, или 25%, а шансы получить три решки подряд = 0.5*0.5*0.5 = 0.125 = 12,5%. Исходя из этого можно выстроить дерево событий с разными вариантами и разными исходными вопросами.

 

Результаты ходов я хочу представить именно как дерево. Стартовая рука буга дает нам четыре основных стартовых варианта: делвер через фечку, делвер с моря, шторм через фечку, шторм с моря.

 

Далее мы получаем вастик, что-то топдекаем, играем земли по мере поступления, и как только выходим на 3 маны (в т.ч. 2 черные), кастим лилиану, у оппонента бомбит, а ветка развития кончается. Если у нас не хватает, мы штормимся, и может быть замешиваем фечкой, а может быть и нет. При любом исходе, если на руках есть шаман – мы его будем говорить, ибо разгон.

 

При всем этом мы будем отслеживать шансы топдекнуть следующие карты:

 

1) Черная дуалка

2) Фечки

3) Брейншторм

4) Шаман

 

Каждый топдек будет в геометрической прогрессии растить наше дерево вариантов, но это фигня – каждый суровый легосе-маг давно в уме считает все вероятности и знает, что это такое. К 4-му ходу есть 4+4*6+4*6*7+4*6*7*7 = 1372 релевантных варианта развития событий, и это не считая прокоп штормов + замешивание фечкой. Чтобы не утомлять вас километровыми простынями вариантов и расчетов, рассмотрим только одну самую вастико-уязвимую ветку: море -> делвер. После этого построим варианты развития событий, и посчитаем наши показатели H и Hw. Вариантов становится 21 штука, из них релевантных к 3-му ходу 16:

 

 

Теперь, зарядившись математикой и истощив свой мозг, можно перейти к интересному.

 

4. Итог

 

 

Эксель с расчетами предоставлю по желанию. В итоге можно сделать следующие наблюдения:

 

1) Без вастика БУГ выходит на два черных сорса + еще один источник маны на 3-й ход в 14 случаях из 16. С вастиком только в 3 случаях.

2) Для любого отдельно взятого случая с точки зрения оппонента, вастик в слепую (не зная исход топдеков и т.д.) снижает шанс выйти в 2 черных сорса + еще одну любую ману к 3-му ходу на 6,24% (средний показатель разницы).

 

5. Финал

 

У БУГ очень много вариантов ходов, выбранные варианты – только ради примера. Сильно жаждущие могут спокойно рассчитать шансы любой партии самостоятельно – без штормов, с пондерами, с другим составом/количеством земель, со свордом в шамана и т.д. Шансы к N-ному ходу подровать и посмотреть определенные карты – занятная математика для пытливых, но это тема для следующей статьи. Любите математику, господин Гарфилд подарил нам очень математически сложную игру, и разбираться в её внутренней механике – сплошное удовольствие.

[vlaprohor]

тема для следующей статьи.

Очоч круто и интересно читать! Жду продолжения!

[Duke Zero]

Арифметику не проверял (и как на частоты влияет реальная рандомизация колоды, далекая от равномерной, не знаю), но в целом все разумно. Сделал тебе красивых формул ^_^

[goodspeed]

Что будет если с вастика дисмембер в шамана, а потом вастик вастик в обе твои дуалки, это твои блок-схемы как-то показывают?

[Duke Zero]

Что будет если с вастика дисмембер в шамана, а потом вастик вастик в обе твои дуалки, это твои блок-схемы как-то показывают?

 

Эти конкретные, вроде бы, нет, но считается аналогично и несложно. Другое дело, что тут надо учитывать вероятность прихода дисмембер-вастик-вастик (без кантрипов, если мы говорим о первых двух ходах), а она достаточно мала, так что влияние таких сценариев сильно нивелируется.

[delphinloko]

Что будет если с вастика дисмембер в шамана, а потом вастик вастик в обе твои дуалки, это твои блок-схемы как-то показывают?

А что будет, если море-ритуал-ритуал-петаль-шторм-глаз-взорвал-тутор-PIF-повторил-тутор-тендрилсы?

Пи.сы. Извините, свеженьких праймеров начитался.

Изменено 29 апреля 2015 пользователем delphinloko

[Q*berman]

Занятная математика, правда, я не очень понял, какую цель преследовал автор, кроме как "по приколу"=)

[mtgshnik]

Утвердиться математически в мысли о том, что как только оппонент выложил дуалку, её надо срочно сломать, а не кастить спел, так как пофиксить его важнее, чем раскаститься самому.

[Арсений]

Мне понравилось слово пермутация, спасибо.

[candybober]

Математично!

З. Ы. Спасибо за труд.

[nantuko]

как математик скажу, круто если кто-то спрашивает, а зачем всё это делалось - он не математик )

 

только у меня формулы не показываются, хотя скрины экселя видны

[Zoldo]

только у меня формулы не показываются, хотя скрины экселя видны

+1, а очень любопытно.

[Duke Zero]

как математик скажу, круто если кто-то спрашивает, а зачем всё это делалось - он не математик )

 

только у меня формулы не показываются, хотя скрины экселя видны

 

Хм, да, ссылки поломались. Починю днем, потерпите немножко.

 

Апд: да нет, посмотрел с компа, а не с телефона, - все есть. Впрочем, все равно перезалил картинки. Так лучше?

[SkaZY]

Так лучше?

Да, спасибо.

[Reindeer]

Всё здорово, почитал с интересом, спасибо

Но шаффлер ржёт в голос со всяких там формул, увы -_-

[Sardukar]

Интересно, спасибо)

[ZaMo]

Очень интересно. Читал ночью, поэтому застрял на «пермутациях», в моем учебнике были размещения и сочетания, но ничего, адаптировался быстро, можно ведь хоть автобусом назвать, как говорил наш физик.

[Taris]

Люто бешено плюсую автора.

Математика - это очень и очень правильно.

[Texen]

Любите математику, господин Гарфилд подарил нам очень математически сложную игру, и разбираться в её внутренней механике – сплошное удовольствие.

Вы ничего не понимаете. На прошлой неделе на форуме орали изо всех сил о том, что магия должна быть игрой взаимодействий, а не какой-то дебильной математики. Поэтому надо сначала дожидаться угрозы и только потом отвечать на неё и только потом свою ставить! А вы тут вастиками кидаетесь и всё ломаете.

[door]

Любопытно, да. Применимо ли? Нет. Ибо слишком высок риск отъехать как раз из-за того, что вастиком отбрасываешь себя назад, не имея никакой информации о руке оппонента. Тем более, что против неизвестного оппонента ТА будет начинать с шамана, а не делвера. Справедливости ради, ТА играет в максимум 2 лили, а часто вообще без них, а гимн все равно получишь с шамана. Но это уже частности, связанные с примером. Да и в целом говорить вастик на первый ход не правильно, если не кипнул руку с тремя или не играешь землями.

[Dimk]

Любопытно, да. Применимо ли? Нет. Ибо слишком высок риск отъехать как раз из-за того, что вастиком отбрасываешь себя назад, не имея никакой информации о руке оппонента. Тем более, что против неизвестного оппонента ТА будет начинать с шамана, а не делвера. Справедливости ради, ТА играет в максимум 2 лили, а часто вообще без них, а гимн все равно получишь с шамана. Но это уже частности, связанные с примером. Да и в целом говорить вастик на первый ход не правильно, если не кипнул руку с тремя или не играешь землями.

Даже когда нет шамана, все равно надо начинать с шамана? Это, видимо, особый легаси скилл. Когда первый турн шаман там совсем другие цифры, конечно, будут. Тут на самом деле два варианта розыгрыша руки. Если мы знаем что опп играет вастиками, то можно начать с фечки, потом с моря штормиться, потом только делвера ставить, но против неизвестного, конечно море-делвер - это стандартный ход, который буду использовать почти все. А против такого захода вастик на первый выглядит нормальным ходом от многих дек.

[Dread Knight]

Если мы знаем что опп играет вастиками, то можно начать с фечки, потом с моря штормиться, потом только делвера ставить, но против неизвестного, конечно море-делвер - это стандартный ход, который буду использовать почти все. А против такого захода вастик на первый выглядит нормальным ходом от многих дек.

 

То есть ты реально полагаешь, что против делвера на первый, находясь на дрове, сыграть Wasteland в Underground Sea - это "нормальный ход" ?

Удачи.

[Dimk]

То есть ты реально полагаешь, что против делвера на первый, находясь на дрове, сыграть Wasteland в Underground Sea - это "нормальный ход" ?

Удачи.

Он не сыграл шамана на первый, значит у него его скорее всего нет в руке. В деке 14 цветных манасорсов всего, значит два на стартовой увидеть можно не так часто, к тому же не факт, что второй синий, то есть с приличной вероятностью это действие закончит игру.

[fruit]

Даже когда нет шамана, все равно надо начинать с шамана? Это, видимо, особый легаси скилл. Когда первый турн шаман там совсем другие цифры, конечно, будут. Тут на самом деле два варианта розыгрыша руки. Если мы знаем что опп играет вастиками, то можно начать с фечки, потом с моря штормиться, потом только делвера ставить, но против неизвестного, конечно море-делвер - это стандартный ход, который буду использовать почти все. А против такого захода вастик на первый выглядит нормальным ходом от многих дек.

 

Начинать с фечки, потом штромиться с моря и ставить делвера это профит. Остаться и без шафл эффекта и без шторма и хз флипнется ли делвер

Изменено 20 мая 2015 пользователем fruit

[TheFamilyMan]

Он не сыграл шамана на первый, значит у него его скорее всего нет в руке. В деке 14 цветных манасорсов всего, значит два на стартовой увидеть можно не так часто, к тому же не факт, что второй синий, то есть с приличной вероятностью это действие закончит игру.

С намного большей вероятностью ты даришь оппоненту плюс ход, в который он вслепую флипает делвера и атакует на три. Потом ему достаточно подейзить/пофорсить ремувал в муху, который ты судорожно пытаешься сказать, чтобы не погибнуть, чтобы победить.